連続リバウンドジャンプ


RJ指数は図子らの研究[1]で提案された指数で,

『ドロップジャンプでは,踏切中の平均力や平均パワーが同じであっても,技術と体力の両面を反映した跳躍高は異なる場合がある.また一方では,跳躍高が同じであっても,踏切前半のブレーキ動作や緩衝動作,あるいは伸張から短縮への切り換え動作などの優劣によって,踏切時間はかなり異なる場合がある.そこで本研究では跳躍時間から求められる跳躍高と踏切時間を用いて,ドロップジャンプの遂行能力を評価する指標...』

という観点から導入された指数ですが,この指標の持つ物理的意味は必ずしも明確ではありません.そこで,ここでは質点バネモデルを考え,まずRJ指数の物理的意味を考えていきます.


RJ指数の定義


RJ指数の算出式を次に示します.



ここでhは跳躍高で,Tcは接地時間です.跳躍高hは空中期の時間から算出します.

質点・バネモデルの導入

全力で連続リバウンドジャンプをしている際に,身体全体が質点と線形な弾性体から構成されていると仮定します.
この仮定は,粘性や弾性の非線形性などは考慮しておらず精緻さには欠けますが,「マットスイッチによるRJ指数の測定」で述べた「共振」や「機械的なインピーダンス・マッチング」の考え方からも,身体全体の近似としては大きな間違いはないと思われます.また,高反発特性の高い選手が高いバネ特性を持っているというこれまでの過去の計測結果からも,このような近似は的外れではないと思われます.

そこで,以下の図


質点バネモデル


トランポリンと跳躍競技におけるインピーダンスマッチング


トランポリン競技では,身体をトランポリンのバネ特性にあわせるような力発揮を行い,「あたかも」同程度の硬さのバネとして振る舞うことでより高く跳躍することができます.

一方,陸上競技の短距離走や跳躍競技などでは床が硬いため,トランポリン競技などと比較すると身体を「あたかも」より硬いバネのように振る舞わせ,床面との間に高い反発力を生み出すことで,より高い競技能力を達成していると考えられています.他にもバスケットボールやサッカーなどにおける方向転換などでは,「短時間で力やパワーを発揮する能力」が必要とされ,ここでは「高反発特性」と形容することにします.

これは物理的には共振機械的インピーダンスマッチングと同じ原理で説明することができます.たとえば,スーパーボールが床面の硬さに見合った高い弾性特性をもっているために,高反発することと同じ原理です.すなわち,競技力を向上させるために,トランポリンや床などの「環境の硬さ(機械インピーダンス)」に応じて,「身体の硬さ」を同程度に「共振(マッチング)・整合」させる,最適な力学原理に自然と従うように,ヒトはトレーニングによって高い跳躍力を獲得していると言えます.

したがって,この「高反発特性」は機械的なインピーダンスマッチングという適応から,言い換えるなら「硬い床面という環境に適応して,身体が大きな反力を獲得する」という競技特性から必要とされている能力と言えます.

なお,冒頭「あたかも」と強調したのは,身体全体がそのような固有の弾性特性を有しているわけではなく,全身の制御を行っている結果,「あたかも」見かけ上そのような弾性特性を実現しているだけで,その特性は筋肉固有の物理的特性ではありません.ただし,特に大きな反力を必要とするような制御を実現するためには,トレーニング等によって獲得された高い筋骨格系の能力が不可欠です.


同じバネ特性による共振(機械インピーダンス整合)


連続リバウンドジャンプとRJ指数


トランポリンのようなバネよりもさらに硬い床面に対して,短時間で高反発するように力やパワーを発揮する「高反発特性」は,一般には連続リバウンドジャンプの計測によって調べられるRJ指数(リバウンドジャンプ・インデックス)で数値化できます.

連続リバウンドジャンプとは「できるだけ短い接地時間で高く跳び上がる」動作を連続して行う動作です.国立スポーツ科学センター(JISS)で行われている標準的な計測では,5回連続してジャンプを繰り返します.

陸上の跳躍競技などの高反発特性を有する選手の連続リバウンドジャンプでは,一般に「跳躍高が高く」,「接地時間が短い」傾向が顕著です.そこで,この「跳躍高」と「接地時間」の比であるRJ指数を計算することで,被験者の下肢や体幹の「短時間で発揮するパワー発揮能力」(高反発特性)を調べることができ,国内では普及した測定方法と指標となっています.幸い,国立スポーツ科学センター(JISS)でも,エリートアスリートの体力測定の測定項目として公開されていますので,一流選手のデータと比較することも可能です(参考資料:フィットネスチェックハンドブック―体力測定に基づいたアスリートへの科学的支援―,ハイパフォーマンスセンター:フィットネスチェックマニュアル).

そこで,次にマットスイッチを使用した,パワー発揮能力の評価方法について具体的にご説明します.


連続リバウンドジャンプ


ここでは,国立スポーツ科学センターの計測方法をご紹介します(ハイパフォーマンスセンター:フィットネスチェックマニュアル).


ウォーミングアップ


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クォータニオン(quaternion)は四元数(しげんすう)と呼ばれ,2次元平面の回転を表現する「複素数の拡張」として,3次元の回転を表現することができます.なお,ただのクォータニオンはそれだけでは回転を表現しません.大きさが1という拘束のある単位クォータニオン(オイラーパラメータ)によって回転を表現します.

したがって,クォータニオンで成立する演算が,オイラーパラメータで成立するとは限らないので注意しましょう.

クォータニオンの幾何学的な意味は「ロドリゲスの式からクォータニオンへ」などで述べましたが,ここでは,クォータニオンの演算について,その一部を述べていきます.

なお,以下の性質はオイラーパラメータ(単位クォータニオン)だけでなく,一般的なクォータニオンで成立する性質であるため,ここでは,2つのクォータニオンqaqb



を使いその性質を表していきます.なお,ここでは,スカラ部とベクトル部の形式和を「+」で表す(qa0 + qav)の形式ではなく,上記のような括弧を使った表現方法を便宜上使用します.


3次元空間の回転を表すロドリゲスの式が,複素数平面で2次元の回転を表現するオイラーの公式の幾何学的な拡張になっていることを「クォータニオン2:オイラーの公式からロドリゲスの式へ」で示しました.

ここでは,さらにこのロドリゲスの式と,オイラーパラメータ単位クォータニオン)との関係について述べていきます.

オイラーパラメータ(単位クォータニオン)の導入

オイラーの公式によって表現される2次元回転は,同じ「指数関数」表現によるロドリゲスの式によって3次元回転へ拡張できることを述べました.オイラーの公式では,虚数を含む指数関数でしたが,3次元では[n x]という歪対称行列という行列に拡張されています.

そこで,次にオイラーの公式の右辺に着目します.右辺は複素数を用いて表現していますが,同様に3次元の回転でも,複素数の概念を3次元に拡張する必要があり,それが,クォータニオンに相当します.ただし,回転を表現するためには,ただのクォータニオンに大きさが1である球体の拘束があることに予め気をつけておく必要があります.

そこで,オイラーの公式



の虚数単位 i を3次元に拡張します.