オイラー角による物体の姿勢表現


物体の3次元における姿勢は,3つの直交する単位ベクトル(大きさが1のベクトル)で表現します.
これらは,直交座標系の軸上に配置された,単位ベクトルとも言えます.
この単位ベクトルをeX, eY, eZとすると,この単位ベクトルを並べたもの(基底)が回転行列Rとなります.つまり,姿勢は回転行列で表現します.これが基本となります.



回転行列というと



のような三角関数で表した行列を連想する方も多いと思います.回転行列は数学的には直交行列の性質を満たし,上記のX軸回りの回転行列も,大きさが1で直交する単位ベクトルを並べたものとなっています.

このように,3つの直交する単位ベクトルを構築して,それらを並べれば回転行列となります.したがって回転行列を計算するために,必ずしも角度を計算する必要はありません.

オイラー角による姿勢表現


 モーションセンサのジャイロセンサは角速度(回転の速度)を計測するので,姿勢角度を直接算出できません.また,地磁気センサの情報からは3次元の角度のうち2つの角度しか計算することができません.
そこで,ここではモーションセンサの計測データから姿勢角度を算出する方法についてご説明する前に,まずは3次元の角度について概要を述べます.

 3次元で剛体の姿勢角度を表すとき,姿勢角度の自由度は3です.すなわち最低3つの変数(角度)必要となり,その3つの変数で表す代表が,オイラー角です.そこで,オイラー角についてまず説明をします.後述するように,オイラー角には複数の定義の仕方があります.



 まず剛体の姿勢は,剛体に固定した直交座標系の各軸の単位ベクトル{ex,ey,ez}を並べたもので表現します.これは一般に記号Rなどで表現した,3×3の行列で,回転後の{ex,ey,ez}を回転前の絶対座標系{O}からみた各単位ベクトルを並べて

  R = {ex,ey,ez}

のように書き表します.

 次に,典型的なオイラー角の一つである,Z-Y-Xオイラー角について説明してみましょう.


製品に関するスポーツセンシング社へのお問合せ

製品に関するスポーツセンシング社へのお問合せ



オイラーの定理


 回転行列 R は剛体の姿勢を表すとします.すると,Ra のように,行列 R はベクトル a の回転の役割も果たします.この回転を,1 本の固定軸 n まわりに角度 ψ だけまわす 1 回転で表現することができます.つまり,R に対して必ずそのような 1 本の固定軸が存在することが知られています.これはオイラーの定理と呼ばれています.

 そのような行列Rによるベクトルaの回転は式で



 加速度センサとジャイロセンサは慣性センサともよばれます.そのうちジャイロセンサは角速度センサとも言われ,角速度を計測するセンサです.

 ジャイロセンサはカメラの手ぶれ補正やカーナビなどによく使われますが,スマホやタブレットPCなどにも搭載されており,加速度センサも含めてかなり普及しています.ジャイロセンサの計測原理はタイプによって,全く異なりますが,モーションセンサで使用しているジャイロセンサも,スマホやカメラなどで使用されている,振動式ジャイロセンサーというMEMSジャイロセンサーです.

角速度の単位



 角速度は単位時間あたりの回転量で,SI単位系(科学技術で使用される単位系)の単位は[rad/s]ですが,モーションセンサでは通常,[deg/s]などが使用されます.1秒あたりの回転量をdegree(度)で表します.1回転は360[deg]=2π[rad]です.[deg/s]はdps(ディー・ピー・エス)などともよびます.似たような単位で,rpsなどもあり,これは1秒あたりの回転数(rotation)per secondの意味です.