回転行列 R は剛体の姿勢を表すとします.すると,Ra のように,行列 R はベクトル a の回転の役割も果たします.この回転を,1 本の固定軸 n まわりに角度 ψ だけまわす 1 回転で表現することができます.つまり,R に対して必ずそのような 1 本の固定軸が存在することが知られています.これはオイラーの定理と呼ばれています.

 そのような行列Rによるベクトルaの回転は式で



のように表します.

 次に,図に示すように,ベクトル a を,単位ベクトル n 方向の直線まわりに角度 ψ だけ回転させることを考え,回転後のそのベクトルを a′ とします.こ れらのベクトルはどこにあっても議論が可能ですが,ここでは説明の便宜上,全て のベクトルの始点が点 O に一致していると仮定します.

 すると回転行列R



のように表すことができます.これをロドリゲスの式と呼びます.ここで,



は,ベクトルnの外積を表す,歪対称行列です.これをかけることで,外積と同じ役割を果たします.

 つまり,このR使って,ベクトル a を軸 n まわりに角度 ψ だけ,回転行列 R によって回転させて,ベクトルa'に移動することになります.

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